Analysis II by Christiane Tretter (auth.) PDF

By Christiane Tretter (auth.)

ISBN-10: 303480475X

ISBN-13: 9783034804752

ISBN-10: 3034804768

ISBN-13: 9783034804769

Dieses kompakte Lehrbuch ist der zweite von zwei einführenden Bänden in die research. Es zeichnet sich dadurch aus, dass es alle klassischen Themen der research II genau im Umfang einer vierstündigen Vorlesung präsentiert und gleichzeitig auf typische Schwierigkeiten im ersten Studienjahr eingeht. Insbesondere bietet es vorlesungserprobte plakative Erläuterungen von anfangs ungewohnten abstrakten Begriffen und allgemein nützliche Tipps für die Vorbereitung auf schriftliche oder mündliche Prüfungen. Beginnend mit der Topologie metrischer Räume über die Differentialrechnung von Funktionen mehrerer reeller Variabler bis zu gewöhnlichen Differentialgleichungen und Fourierreihen, enthält das Buch alle wesentlichen und prüfungsrelevanten Inhalte. Dem besseren Verständnis dienen illustrierende Beispiele, Gegenbeispiele und Übungsaufgaben sowie zahlreiche Hinweise auf Zusammenhänge mit bereits bekannten Resultaten aus der research I.

Das Buch wendet sich an alle, die eine Vorlesung in research II besuchen, additionally Studierende der Mathematik, der Physik und der Informatik. Es eignet sich aber auch direkt als Vorlesungsmanuskript für Dozierende.​

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Zum Aufbau einer geeigneten, umfassenden Differentialrechnung in allgemei­ neren als normierten Räumen benötigt guy bekanntlich Konvergenzbegriffe, die nur in Spezialfällen Topologien definieren. Das zeigt sich insbesondere beim Nachweis der Kettenregel höherer Ordnung. Will guy etwa die Kettenregel zweiter Ordnung für Abbildungen t: X 0--+ Y und g: Y 0--+ Z beweisen, so bringt guy die in der Kettenregel erster Ordnung auftretende Beziehung D(g zero f) (x) = = Dg(t(x)) zero Dt(x) unter Benutzung der Kompositionsabbildung y von L(X, Y) X L(Y, Z) in L(X, Z) in die shape D(g zero f) (x) = (y zero (Dt, Dg zero t» (x).

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1) und es gilt L(g) = L( f ). Beweis. 23]). 8 Mittelwertsatz und Satz von Taylor Als Nächstes wollen wir den Mittelwertsatz und den Satz von Taylor von Funktionen einer reellen Variablen auf Funktionen mehrerer Variablen verallgemeinern. 19]): Ist f stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b), so gibt es zu x, y ∈ (a, b), x < y, ein ∈ (x, y) mit f (y) − f (x) = f ( ). 17), sondern nur noch eine Abschätzung. Diese lässt sich dann allgemeiner auch für Funktionen mehrerer Variablen zeigen: Allgemeiner Mittelwertsatz.

Iii) Ableitung. Ist I = [a, b], so ist die Abbildung D: C 1 ([a, b], R), · ∞ → C([a, b], R), · ∞ , Df := f , linear, aber nicht beschränkt. Beweis. 6 (i)]. Um zu sehen, dass D nicht beschränkt ist, betrachte exemplarisch das Intervall [a, b] = [0, 1]. 1) geben. 6 28 II Differentialrechnung in Rn Bemerkung: D wird beschränkt, wenn man C 1 ([a, b], R) mit der Norm f ∞,1 := sup {| f (x)| + | f (x)|: x ∈ [0, 1]} versieht. 7 ∞ = f ∞ ≤ f ∞,1 . Es seien E, F, G normierte Räume und T ∈ L(E, F), S ∈ L(F, G) Dann ist ST := S ◦ T ∈ L(E, G), und es gilt ST ≤ S T .

56 und wegen f ∈ C k+1 (Df , R) ist g: [0, 1] → R, g(t) := f (x0 + tv), (k + 1)-mal stetig differenzierbar. 5], Entwicklung in t0 = 0 für t = 1) ein ∈ [0, 1] mit: k f (x0 + v) = g(1) = m=0 g (m) (0) g (k+1)( ) (1 − 0)m + (1 − 0)k+1 . m! (k + 1)! 56 ist weiter für m = 0, 1, . . , k: g (m) (0) = m! ∂ ˛ f (x0 ) ˛ v , ˛! ˛∈Nn0 |˛|=m g (k+1) ( ) = (k + 1)! ˛∈Nn0 |˛|=k+1 ∂ ˛ f (x0 + v) ˛ v . ˛! Ist Df ⊂ Rn offen, k ∈ N, f ∈ C k (Df , R) und x0 ∈ Df , so ist das Taylorpolynom von f in x0 der Ordnung k definiert als Pk (x) := ˛∈Nn0 ∂ ˛ f (x0 ) (x − x0 )˛ , ˛!

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