Download e-book for kindle: Analysis für Informatiker: Grundlagen, Methoden, Algorithmen by Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann

By Michael Oberguggenberger, Alexander Ostermann

ISBN-10: 3540898220

ISBN-13: 9783540898221

ISBN-10: 3540898239

ISBN-13: 9783540898238

Diese grundlegende Einführung wendet sich an Informatiker im ersten Studienabschnitt und soll die für das Studium benötigten Konzepte und Werkzeuge aus dem Gebiet der research bereitstellen. Um speziell auf die Bedürfnisse des Informatikstudiums einzugehen, haben die Autoren diesem Werk folgende Konzepte zugrunde gelegt:

Algorithmischer Zugang

Schlanke Darstellung

Software als integrativer Bestandteil

Betonung von Modellbildung und Anwendungen der research.

Der Gegenstand des Buches liegt im Spannungsfeld zwischen Mathematik, Informatik und Anwendungen. Hier kommt dem algorithmischen Denken ein hoher Stellenwert zu. Der gewählte algorithmische Zugang beinhaltet:

Entwicklung der Grundlagen der research aus algorithmischer Sichtweise

Vergegenständlichung der Theorie mittels MATLAB- und Maple-Programmen und Java-Applets

Behandlung grundlegender Konzepte und Verfahren der numerischen research.

Das Buch kann ab dem ersten Semester als Vorlesungsgrundlage, als Begleittext zu einer Vorlesung oder im Selbststudium verwendet werden.

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Das Supremum ist jene reelle Zahl T0 = sup an n∈N welche die beiden Bedingungen erf¨ ullt: (a) f¨ ur alle n ∈ N ist an ≤ T0 ; (b) ist T eine reelle Zahl und an ≤ T f¨ ur alle n ∈ N, so muss T ≥ T0 sein. F. Verhulst, 1804–1849. 46 5 Folgen und Reihen Wir werden unten zeigen, dass jede nach oben beschr¨ankte reellwertige Folge tats¨achlich ein Supremum besitzt. Dieses Supremum muss nicht selbst schon als Folgenglied auftreten. Ist dies jedoch der Fall, so spricht man vom Maximum der Folge. Es ist T0 = max an n∈N falls die beiden Bedingungen erf¨ ullt sind: (a) f¨ ur alle n ∈ N ist an ≤ T0 ; (b) es gibt ein m ∈ N, sodass am = T0 ist.

Man gewinnt daraus durch Substitution t = x2 die beiden reellen L¨osungen. Im Fall b = 0 ist je nach Vorzeichen von a entweder x oder y Null. Die komplexe Zahlenebene. Eine geometrische Darstellung der komplexen Zahlen erh¨ alt man, indem man z = x + iy ∈ C mit dem Punkt (x, y) ∈ R2 der Koordinatenebene identifiziert (Abb. 1). Geometrisch ist dann |z| = x2 + y 2 der Abstand des Punkts (x, y) vom Ursprung; die konjugiert komplexe Zahl z¯ = x − iy erh¨alt man durch Spiegelung an der x-Achse. iy z = x + iy y = Im z x = Re z x Abb.

Abb. 8. F¨ ur beliebige Werte α ∈ R definiert man schließlich sin α und cos α durch periodische Fortsetzung mit der Periode 2π. Dazu schreibt man zun¨achst α = x + 2kπ mit eindeutigem x ∈ [0, 2π) und k ∈ Z. Anschließend setzt man sin α = sin (x + 2kπ) = sin x, cos α = cos (x + 2kπ) = cos x. Die Funktionen Tangens und Cotangens werden mit Hilfe der Formeln sin α cos α , cot α = cos α sin α ebenfalls fortgesetzt. Da die Funktion Sinus bei den ganzzahligen Vielfachen von π eine Nullstelle hat, ist dort Cotangens nicht definiert.

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by James
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