Download e-book for iPad: Analyse : Cours de mathématiques - Première année by Arnaud Bodin et al.

By Arnaud Bodin et al.

ISBN-10: 1522821643

ISBN-13: 9781522821649

Ce livre s'adresse aux étudiants de licence scientifique. Clair, complet et convivial, c'est l'outil de travail idéal pour aborder sereinement le programme de mathématiques du supérieur. Ce tome suggest l'intégralité du cours d'analyse de première année, illustré par de nombreuses figures et des exemples traités en détails. Cet ouvrage, issu du projet Exo7, se complète par des ressources en ligne : vidéos de cours ou exercices corrigés. Vous avez en major tout pour réussir votre première année ! Chapitres du livre Les nombres réels Les suites Limites et fonctions keeps Fonctions usuelles Dérivée d’une fonction Intégrales Développements limités Courbes paramétrées Équations différentielles Leçons de choses

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Zum Aufbau einer geeigneten, umfassenden Differentialrechnung in allgemei­ neren als normierten Räumen benötigt guy bekanntlich Konvergenzbegriffe, die nur in Spezialfällen Topologien definieren. Das zeigt sich insbesondere beim Nachweis der Kettenregel höherer Ordnung. Will guy etwa die Kettenregel zweiter Ordnung für Abbildungen t: X 0--+ Y und g: Y 0--+ Z beweisen, so bringt guy die in der Kettenregel erster Ordnung auftretende Beziehung D(g zero f) (x) = = Dg(t(x)) zero Dt(x) unter Benutzung der Kompositionsabbildung y von L(X, Y) X L(Y, Z) in L(X, Z) in die shape D(g zero f) (x) = (y zero (Dt, Dg zero t» (x).

Vaughan F.R. Jones's Von Neumann Algebras PDF

The aim of those notes is to supply a fast creation to von Neumann
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On suppose que f est continue en x 0 et que (un ) est une suite qui converge vers x 0 et on veut montrer que ( f (un )) converge vers f (x 0 ). Soit ε > 0. Comme f est continue en x 0 , il existe un δ > 0 tel que ∀x ∈ I |x − x 0 | < δ =⇒ | f (x) − f (x 0 )| < ε. Pour ce δ, comme (un ) converge vers x 0 , il existe N ∈ ∀n ∈ n tel que N =⇒ |un − x 0 | < δ. On en déduit que, pour tout n N , comme |un − x 0 | < δ, on a | f (un ) − f (x 0 )| < ε. Comme c’est vrai pour tout ε > 0, on peut maintenant conclure que ( f (un )) converge vers f (x 0 ).

THÉORÈME DE CONVERGENCE 28 3. limn→+∞ (vn − un ) = 0. Théorème 3. Si les suites (un )n∈ et (vn )n∈ sont adjacentes, elles convergent vers la même limite. Il y a donc deux résultats dans ce théorème, la convergence de (un ) et (vn ) et en plus l’égalité des limites. Les termes de la suites sont ordonnées ainsi : u0 u1 ··· u2 un ······ vn ··· v2 v1 v0 Démonstration. • La suite (un )n∈ est croissante et majorée par v0 , donc elle converge vers une limite . • La suite (vn )n∈ est décroissante et minorée par u0 , donc elle converge vers une limite • Donc − = limn→+∞ (vn − un ) = 0, d’où = .

CONTINUITÉ SUR UN INTERVALLE 51 Remarque. On retiendra surtout l’implication : si f est continue sur I et si (un ) est une suite convergente de limite , alors ( f (un )) converge vers f ( ). On l’utilisera intensivement pour l’étude des suites récurrentes un+1 = f (un ) : si f est continue et un → , alors f ( ) = . Mini-exercices. 1. Déterminer le domaine de définition et de continuité des fonctions suivantes : f (x) = 1/ sin x, g(x) = 1/ x + 21 , h(x) = ln(x 2 + x − 1). 2. Trouver les couples (a, b) ∈ 2 tels que la fonction f définie sur par f (x) = a x + b si x < 0 et a f (x) = exp(x) si x 0 soit continue sur .

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by Jason
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