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By Juan Carlos Cabello Píñar

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9 Sea X un espacio normado y A y B dos subconjuntos convexos y no vacíos de X. Si dist(A, B) = δ > 0, entonces existe un funcional f ∈ SX ∗ tal que ef (a) + δ ≤ ef (b) (∀a ∈ A, b ∈ B). ✷ Es usual referirse a cualquiera de los tres últimos resultados utilizando la expresión de teorema de separación de tipo Hahn-Banach. 10 Sea X un espacio normado y A un subconjunto de X no vacío y convexo. Dado x0 ∈ X con d(x0 , A) > 0, existe f ∈ X ∗ con f = 1 tal que ef (x0 ) = sup ef (A) + d(x0 , A). ✷ Cuando intentamos separar dos subconjuntos no vacíos, cerrados y disjuntos de un espacio normado donde además uno de ellos es compacto podemos conseguir el siguiente teorema de separación, el cual es un poco más fuerte que los anteriores.

7. Pruébese que, para cada espacio normado infinito dimensional X, existe una norma en X que no es equivalente a la norma original. 5. Subespacios complementados. Cociente de espacios normados. 5. 1. 27 Subespacios complementados. Cociente de espacios normados. Subespacios complementados. Nivel algebraico Sea X un espacio vectorial y sean M, N dos subespacios vectoriales de X. Diremos que X es suma directa de M y N (representado por X = M ⊕ N ) si M + N = X y N ∩ M = {0}. En este caso diremos que N es el complemento directo de M .

Es usual referirse a cualquiera de los tres últimos resultados utilizando la expresión de teorema de separación de tipo Hahn-Banach. 10 Sea X un espacio normado y A un subconjunto de X no vacío y convexo. Dado x0 ∈ X con d(x0 , A) > 0, existe f ∈ X ∗ con f = 1 tal que ef (x0 ) = sup ef (A) + d(x0 , A). ✷ Cuando intentamos separar dos subconjuntos no vacíos, cerrados y disjuntos de un espacio normado donde además uno de ellos es compacto podemos conseguir el siguiente teorema de separación, el cual es un poco más fuerte que los anteriores.

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by Steven
4.4

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